论爱因斯坦、波多尔斯基和罗森悖论-煤油灯科技

论爱因斯坦、波多尔斯基和罗森悖论

煤油灯科技2022-10-21 10:36

1.引言

爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的悖论认为量子力学是一个不完备的理论，应该有额外的变量作为补充。这些附加变量被还原到理论的因果性和局域性。在这篇笔记中，这个想法将以数学形式表述出来，并被证明与量子力学的统计预测不相容。正是对局域性的要求，或者更准确地说，对一个系统的测量结果不受过去与之有过交互作用的远处系统的操作的影响，这造成了本质上的困难。有人试图证明，即使没有这样的分离性或定域性要求，量子力学的“隐变量”解释也是不可能的。这些尝试已经在其他地方检查过，并发现有所欠缺。此外，已经明确构建了基本量子理论的隐变量解释。这种特殊的解释确实具有一个非常非定域性的结构。根据这里要证明的结果，这是任何精确再现量子力学预测的理论的特征。

2.构想

以Bohm和Aharonov提出的例子为例，EPR论证如下。考虑一对在单重态下以某种方式形成的自旋半粒子，并在相反的方向上自由移动。例如，我们可以用Stern-Gerlach 磁体对自旋 $σ⃗1\vec{\sigma}_1$ 和 $σ⃗2\vec{\sigma}_2$ 的选定分量进行测量。如果对 $σ⃗1⋅a⃗\vec{\sigma}_1\cdot\vec{a}$ 分量(其中 $a⃗\vec{a}$ 是某个单位矢量)进行测量，得到的值是 $+ 1$ ，那么根据量子力学，对 $σ⃗2⋅a⃗\vec{\sigma}_2\cdot\vec{a}$ 的测量必然得到 $- 1$ ，反之亦然。现在我们提出假设，如果两个测量是在相距很远的地方进行，其中一个磁铁的方向不会影响另一个得到的结果。由于我们可以通过预先测量 $σ⃗2\vec{\sigma}_2$ 中任意选择的成分来预测测量的结果，因此可以得出任何这样的测量结果实际上都是预先确定的。由于初始量子力学波函数不确定单个测量的结果，这种预先确定意味着状态更完整规范的可能性。

让我们通过参数 $λ\lambda$ 来完成这个更完整的说明。在下文中， $λ\lambda$ 是表示单个变量还是集合，甚至是一组函数，以及这些变量是离散的还是连续的，都是无关紧要的。然而，我们把 $λ\lambda$ 写成一个连续的参数。然后，测量 $σ⃗1⋅a⃗\vec{\sigma}_1\cdot\vec{a}$ 的结果 $A$ 由 $a⃗\vec{a}$ 和 $∗λ^{\ast}\lambda$ 确定，在同一实例中测量 $σ⃗2⋅b⃗\vec{\sigma}_2\cdot\vec{b}$ 的结果 $B$ 由 $b⃗\vec{b}$ 和 $λ\lambda$ 确定，并且

关键的假设是粒子 2 的结果 $B$ 不依赖于粒子 1 的磁体的设置 $a⃗\vec{a}$ ，也不依赖于 $b⃗\vec{b}$ 的 $A$ 。

如果 $p(λ)p\left(\lambda\right)$ 是 $λ\lambda$ 的概率分布，则两个分量乘积的期望值为 $σ⃗1\vec{\sigma}_1$ 。 $a⃗\vec{a}$ 和 $σ⃗2⋅b⃗\vec{\sigma}_2\cdot\vec{b}$ 是

这应该等于量子力学期望值，对于单重态，该值为

但它将证明这是不可能的。

有些人可能更喜欢将隐变量分为两组公式，其中 $A$ 依赖于一组， $B$ 依赖于另一组；这种可能性包含在上述内容，因为 $λ\lambda$ 代表任意数量的变量，并且 $A$ 和 $B$ 对它的依赖是不受限制的。在爱因斯坦设想的那种完整的物理理论中，隐变量将具有动力学意义和运动定律；然后我们的 $λ\lambda$ 可以被认为是这些变量在某个合适的时刻的初始值。

3.例证

主要结果的证明非常简单。然而，在给出它之前，一些示例可能有助于对其进行理解。

首先，对单个粒子的自旋测量给出隐变量说明并不困难。假设我们有一个纯自旋态的自旋半粒子，其极化由单位向量 $p⃗\vec{p}$ 表示。假设隐藏变量是（例如）在半球 $λ⃗⋅p⃗>0\vec{\lambda}\cdot\vec{p}>0$ 上具有均匀概率分布的单位向量 $λ⃗\vec{\lambda}$ 。指定分量 $σ⃗⋅a⃗\vec{\sigma}\cdot\vec{a}$ 的测量结果为

其中 $a⃗′\vec{a}^{\prime}$ 是以特定方式依赖于 $a⃗\vec{a}$ 和 $p⃗\vec{p}$ 的单位向量，符号函数根据其参数的符号为 $+ 1 或 - 1$ 。实际上，当 $λ⋅a′=0\lambda\cdot a^{\prime}=0$ 时，结果是不确定的，但由于这种情况的概率为零，我们不会为此制定特殊的规定。平均 $λ⃗\vec{\lambda}$ 的期望值为

其中 $θ\theta$ 是 $a⃗′\vec{a}^{\prime}$ 和 $p⃗\vec{p}$ 之间的角度。然后假设 $a⃗′\vec{a}^{\prime}$ 是通过向 $p⃗\vec{p}$ 旋转从 $a⃗\vec{a}$ 获得的，直到

其中 $θ\theta$ 是 $a⃗\vec{a}$ 和 $p⃗\vec{p}$ 之间的角度，然后我们得到了想要的结果

所以在这个简单的例子中，每个测量的结果都是由一个额外变量的值决定的，并且量子力学的统计特征的出现是因为这个变量的值在个别情况下是未知的。

其次，以式(2)的形式再现式(3)在口头讨论这个问题时常用的唯一特征并不困难：

例如，设 $λ\lambda$ 为单位向量 $λ⃗\vec{\lambda}$ ，在所有方向上具有均匀概率分布，并取

那么得到

其中 $θ\theta$ 是 $a 和 b$ 之间的角度，并且式(10) 具有式(8)的属性。为了进行比较，考虑修正理论的结果，其中纯单重态随着时间的推移被产物状态的各向同性混合物所取代；这给出了相关函数

从实验上讲，区分式(10)和式(3)可能比区别式(11)和式(3)更不容易。

与式(3)不同，函数(10)在最小值 $- 1$ (在 $θ=0\theta=0$ )处不是静止的。可以看出，这是式(2)类型函数的特征。

第三，最后，如果允许式(2)中的结果 $A 和 B$ 分别依赖 $b⃗\vec{b}$ 和 $a⃗\vec{a}$ 以及依赖于 $a⃗\vec{a}$ 和 $b⃗\vec{b}$ ，则再现量子力学相关性的式(3)是没有困难的。例如，将式(9)中的 $a⃗\vec{a}$ 替换为 $a⃗′\vec{a}^{\prime}$ ，由 $a⃗\vec{a}$ 向 $b⃗\vec{b}$ 旋转得到，直到

其中 $θ′\theta^{\prime}$ 是 $a⃗′\vec{a}^{\prime}$ 和 $b⃗\vec{b}$ 之间的角度。然而，对于给定的隐藏变量值，用一个磁铁测量的结果现在取决于远处磁铁的设置，这正是我们希望避免的。

4.矛盾

现在将证明主要结果。因为 $ρ\rho$ 是一个归一化概率分布，

由于式(1)的性质， $P$ 在式(2)中不能小于 $- 1$ 。只有当 $a⃗=b⃗\vec{a}=\vec{b}$ 时，它才能达到 $- 1$

除了概率为0的 $λ\lambda$ 点。假设如此，式(2)可以重写

由此可知 $c⃗\vec{c}$ 是另一个单位向量

利用式(1),由此

右边的第二项是 $P(a⃗,c⃗)P\left(\vec{a},\vec{c}\right)$ ，由此

除非 $P$ 是常数，否则对于小的 $∣b⃗−c⃗∣\lvert\vec{b}-\vec{c}\rvert$ 来说，右边一般是 $∣b⃗−c⃗∣\rvert\vec{b}-\vec{c}\rvert$ 。因此 $P(b⃗,c⃗)P\lparen\vec{b},\vec{c})$ 不能在最小值( $b⃗=c⃗\vec{b}=\vec{c}$ 时为 $- 1$ )上静止，并且不能等于量子力学值式(3)。

量子力学的相关性式(3)也不能用形式式(2)任意地近似。这一点的形式证明可以表述如下。我们不必担心在孤立点处的近似失败，因此让我们考虑函数而不是式(2)和式(3)

其中，条形表示 $P(a⃗′,b⃗′)P\left(\vec{a}^{\prime},\vec{b}^{\prime}\right)$ 和 $−a⃗′⋅b⃗′-\vec{a}^{\prime}\cdot\vec{b}^{\prime}$ 对向量 $a⃗′\vec{a}^{\prime}$ 和 $b⃗′\vec{b}^{\prime}$ 在 $a⃗\vec{a}$ 和 $b⃗\vec{b}$ 的指定小角度内的独立平均值。假设对于所有 $a⃗\vec{a}$ 和 $b⃗\vec{b}$ ，差值都在 $ϵ\epsilon$ 的范围内：

那么将证明 $ϵ\epsilon$ 不能任意小。

假设对于所有 $a 和 b$

根据式 (16)

根据式（2）

其中

根据式（18）和式（19）， $a⃗=b⃗\vec{a}=\vec{b}$ ，

根据式（19）

利用式（20）得到

利用式（19）和式（21）

最后利用式（18）

或

以 $a⃗⋅c⃗=0,a⃗⋅b⃗=b⃗⋅c⃗=1/2\vec{a}\cdot\vec{c}=0,\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=1/\sqrt{2}$ 为例，那么

因此，对于小的有限值 $δ\delta$ , $ϵ\epsilon$ 不能任意小。

因此，量子力学的期望值不能以式(2)的形式精确地或任意接近地表示。

5.概括

上面考虑的例子的优点是它几乎不需要想象力来设想实际进行的测量。以更正式的方式，假设任何具有完整特征态集的 Hermitian 算子都是“可观察的”，结果很容易扩展到其他系统。如果两个系统的状态空间的维数大于 2，我们总是可以考虑二维子空间，并在它们的直接乘积中定义算子 $σ⃗1\vec{\sigma}_1$ 和 $σ⃗2\vec{\sigma}_2$ ，形式上类似于上面使用的那些，对于乘积子空间之外的状态为零。那么对于至少一种量子力学状态，即组合子空间中的“单线态”状态，量子力学的统计预测与可分离的预定是不相容的。