熵总是增加的，但在量子系统中，传统熵测量值似乎恒定不变。维也纳理工大学的研究人员通过考虑香农熵解决了这一悖论，香农熵考虑到了测量中的不确定性。

他们的研究证明，即使在孤立的量子系统中，无序也是自然产生的，从而使量子力学与热力学相一致。

量子物理学中的熵悖论

热力学第二定律是自然界的基本法则之一。它表明，在一个封闭系统中，熵（无序程度的度量）必定随时间而增加。这解释了为何有序的系统会自然瓦解：冰融化为水，破碎的花瓶永远不会自行复原。然而，量子力学似乎对这一法则提出了挑战。从数学角度来看，量子系统中的熵似乎保持不变，这引发了一个令人困惑的矛盾。

维也纳工业大学的一个研究团队调查了这一明显的不一致现象，发现答案取决于如何定义熵。当熵以一种与量子力学相一致的方式测量时，这种矛盾就消失了。就像在经典物理学中一样，量子系统中的熵增加，导致原本有序的系统趋向无序。

熵与时间之箭

虽然熵通常与无序相关，但两者并不等同。看似无序可能是主观臆断，但熵有着精确的数学定义。它量化了一个系统是否处于高度特定状态（低熵）或看似同样随机的多种可能状态之一（高熵）。

“熵是衡量一个系统是否处于特殊、非常特别的状态的指标，在这种状态下，系统的熵较低；或者衡量系统是否处于许多看起来或多或少相同的状态之一，在这种情况下，系统的熵较高，”维也纳理工大学原子与亚原子物理研究所的马库斯·胡伯 (Marcus Huber) 教授解释道。如果你从一个非常特定的状态开始，例如一个盒子里装满了按颜色精确分类的球，然后如果你轻轻摇晃盒子，随着时间的推移，就会产生一个熵较高的混合态。这仅仅是因为只有少数有序的状态存在，但存在许多相似的无序状态。

“从物理学的角度来看，这就是时间的方向定义，”马克斯·洛克（维也纳工业大学）说道。“在过去，熵值较低；而在未来，熵值更高。”然而，量子物理学在这里遇到了一个问题：数学家和物理学家约翰·冯·诺依曼证明，根据量子物理学的定律，量子系统中的熵根本不会发生变化。如果你对量子系统拥有完整的信息，那么所谓的“冯·诺依曼熵”将始终保持不变；我们无法判断时间是在前进还是后退，从物理学的角度来看，每个时间点都是等效的。

量子信息鸿沟

“但这种观点忽略了重要的一点，”汤姆·里夫林（维也纳工业大学）说道，“在量子物理学中，我们永远无法完全掌握一个系统的全部信息。我们可以选择想要测量的系统属性——即所谓的可观测量。这可以是粒子的位置或速度等。然后，量子理论会告诉我们获得不同可能测量结果的概率。但根据量子理论，我们永远无法完全了解一个系统的全部信息。”

即使我们知道概率，某一特定测量的实际结果仍然出乎意料。熵的定义中必须包含这种出乎意料的元素。你无需计算整个系统完整量子态的冯·诺依曼熵，而是可以计算某一特定可观测量的熵。前者不会随时间变化，但后者可能会。

香农熵：衡量无序性的不同尺度

这种熵被称为“香农熵”。它取决于测量不同可能值的概率。“你可以说，香农熵是衡量你从测量中获得多少信息的一种方式，”弗洛里安·迈尔（维也纳理工大学）说道。“如果只有一个可能的测量结果，且这一结果有100%的确定性，那么香农熵就是零。你不会对结果感到惊讶，也不会从中了解到任何信息。如果有许多可能值，且这些值具有同样较大的概率，那么香农熵就会很大。”

量子无序度终究会增加

研究团队现已证明，如果从一个香农熵较低的状态开始，那么这种熵会在一个封闭的量子系统中增加，直到达到一个最大值左右并趋于平稳——这与经典系统中热力学的已知情况完全一致。时间越久，测量结果就越模糊，观察时感到的惊讶就越大。这一点现在已通过数学方法得到证明，并且描述了几种相互作用粒子行为的计算机模拟也证实了这一点。

马库斯·胡伯（Marcus Huber）说：“这向我们表明，在完全与其环境隔绝的量子系统中，热力学第二定律同样适用。你只需要提出正确的问题并使用合适的熵定义。”

量子热力学及其未来应用

如果你研究的是仅由极少数粒子组成的量子系统（例如仅含有几个电子的氢原子），则上述考量并不适用。但在当今时代，尤其是在量子物理的现代技术应用方面，我们经常需要应对这样一个挑战：描述由众多粒子组成的量子系统。马库斯·胡伯（Marcus Huber）表示：“为了描述此类多粒子系统，必须使量子理论与热力学相协调，这就是为什么我们也想通过基础研究为新量子技术奠定基础的原因。”

参考文献：《孤立量子系统中热力学第二定律的出现》，作者：弗洛里安·迈尔、汤姆·里夫林、蒂亚戈·德巴尔巴、杰克·休厄布、马库斯·胡伯和马克西米利安·P.E.·洛克，发表于2025年1月14日，PRX Quantum期刊。数字对象唯一标识符（DOI）：10.1103/PRXQuantum.6.010309