一位数学家已经为一个长期被认为无法求解的方程找到了代数解法。
悉尼新南威尔士大学 (UNSW Sydney) 一位数学家的一项开创性发现，可能为代数领域一个最难的问题提供了最终解决方案：即如何求解高次多项式方程。
多项式是变量（如x）提升到不同幂次的方程。一个简单的例子是：1 + 4x - 3x² = 0。
这些方程式不仅仅出现在数学课本中，它们对于预测行星运动和编写软件等所有事物都至关重要。
但当 x 的指数达到五次方甚至更高，即“高阶”多项式时，数学家们几个世纪以来一直在努力寻找一种通用的解法。这一振奋人心的新突破或将改变这一现状。
现在，新南威尔士大学名誉教授诺曼·怀尔德伯格（Norman Wildberger）揭示了一种使用新颖数字序列的新方法，计算机科学家迪恩·鲁宾（Dean Rubine）博士在最近的一份出版物中概述了该方法。
怀尔德伯格教授说：“我们的解决方案为数学史上一个之前已尘埃落定的问题翻开了新的一页。”
多项式问题
多亏了巴比伦人的“配方法”，自公元前1800年以来，二次多项式的解法就已存在，后来该解法演变成许多高中生熟悉的二次公式。16世纪时，人们开始使用被称为“根式”的数字的根来求解三次和四次多项式，配方法由此得到了进一步推广。
然后，在1832年，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）指出，对于五次及五次以上的多项式方程，用于求解低次多项式方程的方法背后的数学对称性将无法实现。因此，他认为，不存在能够求解它们的通用公式。
之后，人们研发出了高次多项式的近似解法，并在应用中广泛使用，但怀尔德伯格教授表示，它们不属于纯代数。
新方法背后的彻底摒弃
他说，问题在于经典公式中使用了三次方根或四次方根，这些都是根式。
根号下的数通常代表无理数，这些无理数的小数部分是无限不循环的，且不能表示为简单的分数。例如，七的立方根，即3√7 = 1.9129118…，其小数部分是无限的。
怀尔德伯格教授说，这意味着真正的答案永远无法完全计算出来，因为“你需要做无穷无尽的工作，还需要一个比宇宙还大的硬盘。”
因此，当我们在公式中假定3√7“存在”时，我们假定这个无限不循环的小数在某种意义上是一个完整的对象。
因此，怀尔德伯格教授说，他“不相信无理数的存在”。
他说，无理数依赖于一种不精确的无穷概念，并且会导致数学上的逻辑问题。
维尔德伯格教授拒绝使用根式，这激发出了他对数学、有理三角学和通用双曲几何做出的最著名的贡献。这两种方法都依赖于平方、加法或乘法等数学函数，而不是无理数、根式或正弦、余弦之类的函数。
他解决多项式的新方法也避免了根式和无理数，而是依赖于被称为“幂级数”的多项式的特殊扩展，幂级数可以有无限个x的幂的项。
怀尔德伯格教授说，通过截断幂级数，他们能够提取出近似数值答案，以检验这种方法是否有效。
“我们测试过的方程式之一是 17 世纪华利斯 (Wallis) 为演示牛顿法所使用的著名三次方程。我们的解决方案效果极佳，”他说道。
通用解的新几何方法
然而，维尔德伯格教授表示，该方法的证明最终还是要以数学逻辑为基础。
他的方法使用了代表复杂几何关系的新数列。这些数列属于组合数学，组合数学是数学的一个分支，研究元素集中数字的模式。
最著名的组合数列，即卡特兰数（Catalan numbers），描述的是将一个多边形（即任何有三条或更多边的形状）分割成三角形的不同方法数。
这些数字具有重要的实际应用，包括在计算机算法、数据结构设计和博弈论中。它们甚至出现在生物学中，在那里，它们被用来帮助计算RNA分子可能的折叠模式。而且它们可以使用简单的二次多项式来计算。
“人们了解到卡特兰数与二次方程密切相关。我们的创新之处在于，如果想要求解更高次的方程，我们应该寻找卡特兰数的高次类似项。”
怀尔德伯格教授（Wildberger）的研究工作将这些卡塔兰数（Catalan numbers）从一维扩展到了多维，依据的是使用非相交线将多边形进行划分的方法数量。
“我们已经发现了这些扩展，并展示了它们如何逻辑地推导出多项式方程的一般解。
“这是对代数基本章节的重大修改。”
他说，甚至五次多项式（五次方程）现在也有了解法。
他说，除了理论上的意义之外，这种方法在创建计算机程序方面也大有前途，可以利用代数级数而不是根式来求解方程。
这是应用数学中许多领域的核心计算，因此这是改进众多领域算法的一次机会。”
晶洞的未知层面
怀尔德伯格教授表示，他和鲁宾博士称之为“多面体”的这一新型数字序列，还具有巨大的进一步研究潜力。
“我们引入了这一从根本上全新的数字数组——即多面体数，该数组扩展了经典的卡塔兰数，并且似乎构成了卡塔兰数的基础。
“我们预计，对这种新型测地线阵列的研究将引发许多新的问题，让组合数学家们忙碌数年。
“真的，还有很多其他可能。这只是个开始。”
参考文献：《美国数学月刊》2025年4月8日N. J. Wildberger与Dean Rubine所著的《多项式方程的超卡特兰级数解与测地线》一文。DOI：10.1080/00029890.2025.2460966
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