摘要
本文描述了我在电子计算机发展的早期(1946-1948)与 A. M. Turing 在英国国家物理实验室（NPL）的生活。讨论了目前由于与计算机科学家和数学家关系困难而导致的数字分析师的悲观情绪。从过去和现在的表现来看，这种悲观是没有道理的，它是数值数学发展的主要敌人。讨论了在矩阵计算和误差分析领域取得的一些成果，并概述了数值分析研究方向可能发生的变化。
引言
当我终于从被邀请去做1970年图灵奖演讲的那种震惊的喜悦中恢复过来时，我意识到我必须准备一场合适的演讲。似乎有一个传统，图灵讲师应该自己决定对他的期望，可能因为这个原因，以前的演讲在风格和内容上有很大的不同。不过，大家都很清楚，我将在午餐后发表演讲，而我不会享受投影仪或黑板的好处。
虽然我从发明之初就和高速计算机联系在一起了，但我的主要主张(例如，对于在 1970 年发表演讲的荣誉)取决于我作为数字分析师的工作，特别是在误差分析领域。对这次会议的程序进行研究后发现，数值分析的缺席是很明显的，因此我觉得准备一篇关于舍入误差的相当沉重的论述是不合适的；事实上，我怀疑在任何环境下，这是否适合作为午餐后演讲的主题。因此，我决定根据我过去25年作为数字分析师的经验，做一些个人的评论。
在一个重要的方面，我很可能会在图灵的讲师中占据一个独特的位置。
Maurice Wilkes 在 1967 年的“Ihring 演讲”中说，很多追随他的人都不太可能认识艾伦·图灵。事实上，我可以要求的更多。从1946年到1948年，我有幸在国家物理实验室与这位伟人一起工作。我用“伟人”这个词是经过深思熟虑的，因为他确实是一个非凡的天才。对于我们这些在N.P.L.认识他并与他一起工作的人来说，ACM通过设立图灵奖来表彰他在计算机科学方面的杰出贡献是一件非常高兴的事情。由于在他职业生涯的重要时期我与他的工作的联系，我特别高兴能获得这个奖。我相信，在这种情况下，如果我把演讲的一部分时间用于我与他共事的那段时间，不会被认为是不合适的。我的职业生涯无疑深受该协会的影响，没有它，我不太可能留在计算机领域。
与艾伦·图灵的生活
我是通过倾向和训练一个经典的分析师。在30年代，剑桥仍然被古典分析所主导，我受到了哈代-利特伍德传统的强烈影响。如果不是因为第二次世界大战，我肯定会拿到那个领域的博士学位。然而，当战争爆发时，我正处于参军的年龄，天性爱国，我觉得我可以更有效地为我的国家服务，顺便说一下，在政府科学服务部门工作，比作为一个无能的步兵更舒适。英国政府在这个问题上采取了令人惊讶的开明态度，几乎从战争一开始，那些有科学资历的人就被鼓励学习这门课程。
因此，整个战争期间，我都在武器研究部度过，这个部门与阿伯丁试验场有很多共同之处，主要研究一些有趣的课题，如外弹道、炸弹和炮弹的破片和炸药的热力学。我的任务是解决这些领域中出现的数学问题，必要时使用计算方法。任何曾经经受过这种考验的人都会知道，这是一种非常痛苦的经历，成功会被失败严重稀释。起初，我并不觉得这个任务特别合意，但渐渐地，我对物理问题的数值解法产生了兴趣。在这堂课的后面，我将描述一个矩阵计算的早期经验，它对我后来的职业生涯产生了相当大的影响。
战争结束后，我无法立即获得释放，于是在1946年，我加入了国家物理实验室新成立的数学部门。在那里，我第一次见到了艾伦·图灵，当然，我以前知道他是有名的，但主要是一个怪人。现在回想起来很有趣，计算机科学实际上涵盖了 N.P.L. 的两个完整部门。并将其触角伸入其余部分，当时高速计算部门（或称为 ACE 部门）的工作人员编号为 11/2。当然，不亚于艾伦·图灵本人，而我是一半。我赶紧补充说，这并不代表我的虚假谦虚。我将花一半时间在计算机部分，由查尔斯·古德温和莱斯利·福克斯负责，另一半时间与艾伦·图灵一起学习。几个月来，图灵和我一起在一间老房子顶楼的一个非常小的房间里工作，这间房子被国家物理实验室“临时”接管，作为数学部门的办公室。不用说，25年后，它仍然是N.P.L.的一部分。图灵从来没有成为帝国的建设者;他相当缓慢地召集他的工作人员，并与他们密切合作。一年后，工作人员只达到了 3Vz，另外两个人是 Mike Woodger，他以在 Algol 方面的工作而闻名，还有 Harry Huskey {他不需要向 ACM 观众介绍}，他在 N.P.L. 度过了 1947 年。
我的任务是协助图灵对即将在N.P.L.建造的ACE计算机进行逻辑设计，并研究一些数值分析的基本算法的编程问题。我在计算部分的工作是为了拓宽我在这方面的知识。（熟悉图灵工作的人可能会有兴趣知道，他将解决特定问题所需的指令集称为“指令表”，这个术语后来在其他地方引起了误解。）你可以想象，这让我几乎没有空闲时间。和图灵一起工作是一件非常刺激的事情，有时甚至会让人筋疲力尽。最近，他对数值分析问题产生了强烈的兴趣，他很高兴地邀请了国家物理实验室最有经验的数值分析专家Leslie Fox，对他正在使用的方法进行深入而有益的批评。
对于图灵这样的人来说，“中场休息”是不可能的，而且几乎从一开始，在计算部门度过的时间就相当短暂。不过，联合任命也有其有益的方面。图灵偶尔也有“难以接近”的时候，在这种时候，最好谨慎行事。我很快就学会了识别这些症状，并会行使我在计算机部门工作的权利(或者用我通常的说法，“履行我的义务”)，直到图灵的情绪消失，这通常很快就会消失。
图灵有一种很强的直觉，就是从最基本的原理出发，通常不参考任何以前的工作，毫无疑问，正是这种习惯赋予了他的工作独特的原创性。我想起了贝多芬的一句著名的话，当他被问及是否听过莫扎特的某一部备受关注的作品时。他回答说他没有，并补充说：“我也不会这样做，以免丧失我自己的一些独创性。”
图灵把这件事做到了极致，我必须承认，起初我觉得这很烦人。他会给我安排一项工作，当我完成时，他不会屈尊看我的解决方案，而是亲自着手解决；只有在他自己进行了初步试验之后，他才准备阅读我的作品。我很快就看出了他这种做法的好处。首先，他在理解别人的想法方面确实不如他在形成自己的想法时那么迅速，但更重要的是，他经常会想出一些独创的方法，他经常会想出一些我没有想到的原创方法，如果他立即阅读我的叙述，他可能也不会想到。当他终于有时间读我的作品时，他通常是非常感激的；他特别喜欢一些编程小技巧，有些人会说他太喜欢这些小技巧了，以至于不能成为一个“优秀”的程序员。对于我可能使用的任何小技巧，我都会带着孩子气的幽默轻笑。
当我加入N.P.L.时，我还没有下定决心永久留在这里，我仍然考虑回到剑桥从事古典分析的研究。与图灵在一起的那段时间让我对计算机项目充满了热情，也让我对数值分析产生了浓厚的兴趣，以至于我渐渐地放弃了这个想法。正如我在与纯粹的数学家朋友交谈时，我喜欢这样说：“如果没有图灵，我可能只会成为一个纯数学家。”注意让这句话带有适当的贬义。
图灵的声誉现在已经很好了，几乎不需要我来提振。然而，我不得不说，他发表的作品未能充分展示他作为一名数学家的卓越才华。他的知识覆盖了整个纯数学和应用数学领域，似乎不仅是从书本上学到的，而且已经成为他自身不可分割的一部分。人们很难想象他会“忘记”这一切。尽管如此，他只有 20 篇发表过的论文值得称赞，而且这只有在一篇包含了我在大约 20 年的时间里写的几乎所有内容的情况下。尽管这些论文中有一些很了不起，但如果事情的结果稍有不同，这些工作只是他可能做的工作的一小部分。
首先，从1939年开始，他在外交部工作了6年。1939年他27岁，所以在不同的情况下，这段时期很可能是他一生中最有成就的时期。他似乎并不后悔在那里度过的那些年，的确，我们认为这是他一生中最快乐的时光之一。图灵喜欢各种各样的问题和难题，他在那里遇到的问题肯定给他带来了很多乐趣。当然，正是在那里，他获得了电子学的知识，这可能是他决定去国家物理实验室设计一台电子计算机，而不是回到剑桥的决定性因素。数学家们倾向于把这段时期称为“虚度光阴”，但我认为他是一个过于宽泛的科学家，无法用这样的术语来思考它。
限制他创作的第二个因素是他明显不愿动笔。众所周知，在学校里，他对“英语科目”没有什么热情，他似乎觉得发表论文的乏味比我们大多数人更令人压抑。就我自己而言，我发现他的写作风格相当令人耳目一新，并且充满了一些个人风格，这对认识他的人特别有吸引力。在写作的阵痛中，他会不停地敲打一台旧打字机(说得好听点，他是一个冷漠的打字员)，在这种情况下，去计算机部看看是特别可取的。
在我准备这次演讲的时候，一份早期的数学部门报告被发现了。这是图灵在1946年写给国家物理实验室执行委员会的，主要目的是让委员会相信建造电子计算机的可行性和重要性。这本书充满了他特有的幽默，24年来我第一次重读这本书，再一次被他卓越的独创性和多才多艺所打动。值得一提的是，早在1946年，图灵就考虑过同时使用区间运算和有效数字运算的可能性，这份报告回忆了我们关于这个话题的一些被遗忘的对话，更不用说我们在这个话题上的激烈争论了。
图灵的国际声誉主要来自于他在可计算数方面的工作，但我想回忆一下，他是一位相当出色的数字分析师，从1946年起，他的大部分时间都在这个领域工作，尽管主要是解决物理问题。在N.P.L.期间，他写了一篇关于矩阵计算误差分析的出色论文，我稍后会提到这篇论文。
在国家物理实验室的最后几个月里，图灵对ACE项目的进展越来越不满意。他一直在考虑一个有200条长继电器、存储大约6000个单词的大型机器，我认为这对于N.P.L(以及大多数其他地方)的资源来说过于雄心勃勃。在访问期间，Harry Huskey试图在图灵的想法基础上，开始研制一种不那么雄心勃勃的机器。图灵永远无法支持这个项目，1948年他离开了N.EL。加入曼彻斯特大学的小组。他离开后，数学系ACE部门和新近成立的电子学部门的四位高级成员联合起来，合作建造了一台计算机试验台ACE，我们把之前和Harry Huskey一起想出的一些想法都用在了这个机器上；在接下来的两三年里，我们都做电子工程师。我想我们可以说，飞行员ACE是一个完全的成功，因为图灵不会允许这个项目启动，所以至少我们从他的离开中受益，尽管数学系再也没有像以前那样了。与天才共事有利有弊!然而，这台机器成功后，图灵并没有吃不到葡萄说葡萄酸，他对所取得的成就总是非常慷慨。
数值分析的现状
我现在想谈谈我演讲的主题，即数值分析的现状。 数值分析在构成相当不明确的计算机科学学科的各种主题中是独一无二的。我之所以这么说，是因为我很遗憾看到数值分析切断了它与计算机科学的所有联系，尽管我承认，我的观点一定在某种程度上受到了电子计算机建设的激动人心的先驱时代的影响。然而，数值分析显然不同于其他主题，它有着悠久而杰出的历史。只有名字是新的(它似乎在50年代之前没有被使用过)，这至少是它与计算机科学的共同点。
有些人喜欢将其历史追溯到巴比伦人，如果有人选择将任何合理的系统计算视为数字分析，我认为这是合理的。当然，数学界的许多巨人，包括伟大的牛顿和高斯本人，都把大量的研究投入到计算问题上。在那个年代，一个数学家不可能在不担心同事的批评的情况下以这种方式度过他的时间。
许多计算机革命的领导者都想开发一种工具，专门用于解决物理学和工程学中出现的问题。在早期，诺依曼和图灵这两个天才为吸引真正有能力的人进入计算领域做了很多工作。我在前面提到的图灵的报告很清楚地表明，他认为这样的应用是开始一项相对昂贵的事业的主要理由。在新成立的计算机学会中，有很大比例的领军人物主要是数字分析师，而新期刊的编辑委员会很大程度上是从他们的队伍中选拔出来的。
电子计算机的使用带来了一系列新的问题，这些问题可能都与"编程"有一些松散的联系，不久，围绕着计算机的一整套新的努力领域就出现了。在一篇关于数值分析的精彩文章中，Philip Davis使用术语“计算机学”来涵盖这些五花八门的活动，但他小心翼翼地将该术语归因于一位不愿透露姓名的友好评论家。我不打算在这次演讲中使用这个术语的贬义，但它是一个有用的集合词，涵盖了计算机科学中的所有内容，除了数字分析。许多人最初是为了解决数学物理学中的一些问题而出发的，但他们发现自己暂时被计算机学的问题转移了方向，我们仍然在屏息等待他们带着卓越的智慧回归社会时肯定会做出划时代的贡献。
与数值分析相比，计算机学的问题是全新的。整个科学的特点是不安分的活动和兴奋，全新的课题不断涌现。虽然，毫无疑问，一些新的活动将被证明是短暂的，计算机学在确保计算机被充分利用方面起着至关重要的作用。我相信，与一群充满活力和热情的人联系在一起对数字分析师来说是件好事。我同样确信，在计算机科学中，包含像数值分析这样具有坚实的过去成就背景的学科是有价值的。然而，不可避免的是，数值分析在计算机科学环境中开始显得有点偏颇，数值分析人员开始显示出对自己失去信心的迹象。目前数学系的抽象倾向加剧了他们的孤立感，这导致了一种不稳定的关系。如果计算机革命发生在19世纪，情况将是多么不同啊!Davis在他的文章中指出，人们已经开始问，“数值分析死了吗?”Davis已经对这个问题给出了他自己的答案，我不打算在这里继续讨论。在任何情况下，“数字分析师”可以被比作计算机科学中的“建制派”，在所有领域，诊断建制派中的“严谨性莫里斯”是一种流行。
第二个问题被问到的频率越来越高。它有许多不同的伪装，但也许最能表达它的是一句流行语：“数值分析有什么新进展?”这句话总是这样说，让提问者的回答毫无疑问是“什么也没有”，或者，甚至更有可能是一个更粗俗的两个单词的同义词，在英语中是如此丰富。这个批评让我想起了函数式分析中存在的一个类似的情况。那些在旧传统中成长起来的人倾向于说：“在功能分析中没有什么新东西，它只是代表着用新衣服打扮旧结果。”这里有足够的事实来证实批评家们的愚蠢。
在我看来，隐含的批评包含了错误的比较。当然，计算机学的一切都是新的；这既是它的吸引力，也是它的弱点。直到最近，我才了解到计算机正在彻底改变占星术。电脑占星!这肯定是以前从未做过的，而且我知道这是非常有回报的！ 说真的，没想到数值分析会在一两年内被颠覆，仅仅因为我们给它起了一个新名字，并且终于有了令人满意的工具可以使用。 在过去的 300 年里，数学界的一些最优秀的人才已经被用来解决我们试图解决的问题。 毫不奇怪，我们的进步速度不能完全匹配计算机学特有的令人兴奋的速度。
数值分析方面的一些成果
如果你想让我为没有取得任何真正的进展找借口，我向你保证，我没有这样的意图。在准备这次演讲时，我简要回顾了自1950年以来所取得的成就，并发现这些成就令人印象深刻。在接下来的几分钟里，我想简单介绍一下我最熟悉的矩阵计算领域的成就。
我们很幸运，在V. N.Faddeeva写的小书中，对1950年的情况作了令人钦佩的简明而准确的描述。本书的大部分内容都是讨论特征值问题的解决方法，几乎没有一种方法是现在使用的。事实上，就非厄米矩阵而言，甚至1957年韦恩矩阵会议上提出的方法也几乎完全被取代了。使用QR算法的现代版本，人们可以期望在一分钟的时间内生成一个100阶稠密矩阵的精确特征系统。然后，如果需要，可以继续为特征值和特征向量产生严格的误差界限，作为副产品推导出一个更准确的系统。在1957年Wayne会议上，我们似乎没有达到这样的成就。该进展的一个特别令人高兴的特点是，它对误差分析的进步所导致的数值稳定性问题进行了认识，误差分析在提出新算法方面发挥了重要的作用。
在求解由偏微分方程产生的稀疏线性系统的迭代方法的发展方面已经取得了类似的进展；随着对迭代方法收敛性认识的加深，算法的进展与之相当。就稠密系统而言，新算法的开发已经不那么重要了，但我们对标准方法的稳定性的理解已经发生了彻底的转变。
在这方面，我想对'lhring'的生活发表最后的评论。 当我加入 N.P.L. 1946 年，关于求解线性系统的消元法稳定性的悲观情绪达到顶峰，成为主要话题。 已经产生了边界，该边界旨在表明解决方案中的误差将与 4" 成正比，这表明即使是非常低阶的系统也无法求解。我认为当时这样说是正确的 (1946) 最杰出的数学家最悲观，天赋越低，可能无法理解困难的全部严重性。我不打算在这个量表上指出我的位置，但我确实发现自己处于一个相当不舒服的位置，原因如下。
当我在武器研究部门的时候，我碰巧遇到了矩阵计算，这使我很困惑。在一连串的失败之后，我要解决一个由12个线性方程组组成的方程组。我很高兴终于得到了一个我“完全了解”的问题，并带着我的任务离开了，我相信我会在很短的时间内带着解决方案回来。然而，当我回到房间时，我的信心很快就消失了。这组 144 个系数突然看起来比我得到它们时看起来要大得多。我查阅了当时能找到的几本书，其中一本顺便推荐了用行列式直接应用克莱姆法则!没过多久我就意识到这不是一个好主意，最后我决定使用高斯消去法，现在我们称之为“部分旋转”。
对于消除方法舍入误差的担忧还没有出现，我使用十进制计算更多的是作为一种安全预防措施，而不是因为我预计会出现严重的不稳定问题。这个系统有一点病态，尽管在那个年代我们还没有那么自由地使用这些术语，从一元系数开始，我慢慢地丢失了数字，直到最后的简化方程是这样的，
在这个阶段，我记得我自己在想，即使没有舍入误差的累积，根据这个关系计算出的x12也不会超过6位数，我打算只计算出6位数的答案。然而，用台式电脑工作过的人应该知道，如果一个人坚持一种稳定的工作模式，他往往会犯更少的错误。因此，我将所有变量计算为十位数，尽管我完全知道这样做是荒谬的。巧合的是，所有的解决方案都是有序统一的，这从物理问题的性质来看是可以预料的。
然后，那时我是一台训练有素的计算机，我将我的解代入原始方程，看看它们如何检验。由于xl是从第一个方程推导出来的，所以我先代入第12个方程。你会发现，在台式电脑上，内积正好是20位数。(有趣的是，现在我们几乎总是接受计算机运算单元性能较差的情况!令我吃惊的是，左手边和右手边一致，有十位数，也就是右手边的全部面积。我对自己说，这只是个巧合。接着又发生了十一次“巧合”，虽然可能不是那么迅速!我完全被这弄糊涂了。我敢肯定，没有一个变量的正确数字能超过六位数，但如果我得到了准确的答案，然后把它四舍五入到十位数，那么这个一致性就会像这样好。然而，战争还没有胜利，现在还不是反省舍入误差的时候;无论如何，我花费的时间已经比我最初估计的要长好几倍。我的工头没有像他那样感激，但他不得不承认，当我声称我有“精确的解决方案”，对应于右手边，与给定的只差十位数时，他印象深刻。
你可以想象，当我到达N.P.L.时，遇到了消除方法的不稳定性，这种经历在我脑海中挥之不去。当然，我仍然相信我计算的答案最多有6个正确数字，但令人困惑的是，在我唯一遇到的线性系统中，解的准确性令人惊讶(至少在小残差的意义上)，这需要一个解释。在目前的国家物理实验室环境下，我决定不冒险强调这段经历，以免显得愚蠢。
然而，在我到达后的一段时间，一个由18个方程组成的系统到达了数学部门，在讨论了一段时间后，我们最终决定放弃理论，而去解决它。一个18人的系统是惊人的强大，即使一个人以前有过12人的经验，因此我们决定共同努力。整个操作由Fox、Goodwin、Turing和我负责，我们决定使用完全旋转的高斯消元法。图灵并没有特别的热情，一方面是因为他对台式计算机的操作经验不足，另一方面是因为他确信这将是一个失败。历史非常紧密地重复着。这个系统又出现了轻微的不适;最后一个方程的系数是10 -4阶(原始系数是一阶)，残差也是10 -1阶，也就是说，精确解的大小对应于10个小数。有趣的是，与这个例子相关，我们随后执行了一两个步骤，现在称为“迭代优化”，这使我们确信，第一个解决方案几乎有6个正确的数字。
我想这对图灵来说是一个失败，因为在那个时候，他比我们任何人都更热衷于悲观派。然而，我相信这段经历给他留下了深刻的印象，并促使他重新思考消除过程中的舍入误差问题。大约一年后，他发表了他著名的论文“舍舍误差在矩阵处理”，与.冯·诺伊曼和戈德斯坦的论文一起，做了大量的消除悲观情绪。第二轮无疑是图灵!
我认为，这则轶事很好地说明了当时存在的一种困惑的心态，即使是在这一领域工作的最杰出的人也有这种心态。相比之下，我认为我们今天可以说对矩阵稳定性问题有了一个相当完整的理解，不仅在线性系统的解中，而且在更困难的特征值问题中。
矩阵字段的故障
尽管就算法的发展和对其性能的理解而言，我们可以声称在矩阵领域已经取得了成功，但即使在这个领域，我们在其他方面也不是特别成功。其中最重要的是沟通方面的部分失败。算法的使用和对稳定性问题的普遍理解已经远远落后于发展的应有水平。矩阵计算的基本问题具有公式简单的优点，我认为经过充分测试和文档化的算法的准备工作应该与它们的开发和分析一起进步。这种情况没有发生有两个原因。{i)彻底编写文件的任务比预想的要艰巨得多。人们对这项工作重视不够。有迹象表明，在过去的一两年里，这些缺点终于被自动计算手册[5]的工作所克服，矩阵算法集中在阿贡国家实验室，以及贝尔电话实验室[6]更一般的项目。我认为至关重要的是，所有花费在开发令人满意的算法上的工作，都应该充分提供给需要使用它的人。我想更进一步，认为实现这一目标是一种社会责任。
关于矩阵领域的工作的第二个令人不安的特点是，它往往与非常密切相关的领域相隔离。我想特别提到线性规划和统计计算。直到最近，线性代数和线性规划的工作人员似乎都是由几乎完全不相交的集合组成的，这当然是不可取的。实际统计中所需的标准计算为应用基本矩阵算法提供了最直接的机会，但令人惊讶的是，协作很少。直到最近，我才看到一位著名的实用统计学家写的一篇关于奇异值分解的文章，至少在第一稿中，没有提到Kahan和Golub的工作，他们为此开发了一种令人钦佩的算法。很明显，双方都失败了，但我认为在矩阵领域工作的人的主要责任是确保他们的工作用于相关领域，这需要一个积极的政策。再次有迹象表明这种孤立正在瓦解。在斯坦福大学，线性规划的先驱Dantzig教授现在与计算机科学系有一个联合约定，在英国计划召开矩阵专家和统计学会成员的联合会议。历史事故常常在打破障碍方面发挥着重要作用，有趣的是，在偏微分方程的数值解和矩阵代数方面，工作人员之间的合作一直非常密切。
第三个令人失望的特点是，数字分析师未能以应有的方式影响计算机硬件和软件。在计算机革命的早期，计算机设计师和数字分析师密切合作，实际上经常是同一个人。现在出现了一种令人遗憾的趋势，即数字分析师选择不为算术功能的设计负责，也无法影响软件的更基本特性。人们常说，在科学工作中使用计算机只代表了市场的一小部分，数字分析师已经接受了为其他目的“设计”的设备，并充分利用它们。我不认为这是必然的，如果在表达他们的要求方面有足够的团结，那么他们没有理由不能得到满足。毕竟，从数字分析师的角度来看，电子计算机的主要优点之一是它能够“快速完成算术运算”。需要算术题那么差!即使在这里，也有充满希望的进展。W. Kahan的工作值得特别提及，去年9月，一家知名制造商赞助了一个关于这个主题的会议，在会上，除其他人外，他有机会表达他的观点。
最后的建议
我相信，数学计算在未来将发挥重要作用，它的贡献将完全不负计算机革命伟大先驱的期望。目前，数字分析师面临的最大危险来自于对自己缺乏信心，而这种信心并没有真正的理由。我认为，数值分析的研究性质在未来十年中一定会发生重大变化。在最初的二十年里，我们集中研究一些基本问题，例如线性和非线性代数以及近似理论中出现的问题。回想起来，这些将是我们完成真正任务所需要的工具的初步磨砺。要想在这方面取得成功，我们必须从应用数学家和数学物理学家的行列中更有效地招募人才。在最近一次对苏联的访问中，我被一个事实震惊了:大多数数值分析的研究都是由本质上是数学物理学家的人完成的，他们决定用数值方法来解决他们的问题，他们在科学院中有很强的代表性。虽然我认为我们西方人没有什么好害怕的，但我确实觉得苏联的士气明显更高。
在英国，有迹象表明这种趋势已经发生了转变。邓迪大学(University of Dundee)将举办数字分析年，在此期间，许多世界上更著名的数字分析师将访问英国。最近，英国皇家学会(Royal Society)举行了一次关于数值分析主题的讨论会议。这样的事情在一两年前几乎是不会考虑到的。我期待着数值数学在应用领域占据主导地位的那一天，并在ACM会议上再次占据中心位置。
