本文提出了一种基于连续可变量子神经网络(CV-QNN)的高效密码方案，在该方案中引入指定的CV-QNN模型来设计量子密码算法。本文提出了一种包含密钥生成、加密和解密过程的量子神经密码系统的设计方法。安全性分析表明，该方案是安全的。在Strawberry Fields平台上进行了用CV-QNN处理经典数据的模拟实验，说明了该方法的可行性。研究人员进行了三组具有代表性的实验，第二组实验结果表明，无论经典数据还是量子数据，该方案都可以在最优学习率$8e-2$ 下正确有效地加密和解密数据，并且通过学习率自适应的方法(其中增加因子$R_1=2$ ，减少因子$R_{{}_2}=0.8$ )可以获得更好的性能。根据最后的模拟结果，自适应学习率的方案可以缩短加解密时间。它是一种有效的量子密码方案，在量子器件上具有潜在的应用前景。

密码学是网络安全最重要的方面之一，在信息时代变得越来越不可或缺。在经典密码系统中，密码算法大多基于数论中经典的难以解决的问题。然而，量子计算机和量子算法（如 Shor 算法 ）的发展对基于数论困难的密码系统（如 RSA 密码系统）的安全性构成了本质威胁。因此，人们迫切需要一种新型的后量子密码学(包括量子密码学)，它既能安全抵御量子计算机，又能抵御经典计算机。此外，量子密码学的典型方案是通过将量子密钥分发与目前经典的“一次性密码”模型相结合来实现的，可以有效解决密钥分发问题。而“一次性”量子通信系统在实际应用中存在密钥速率要求高、密钥需求大、消耗大等问题。因此，研究人员试图研究新的量子密码算法和协议，这些算法和协议可以基于更实用的模型来实现。

由于神经网络具有多元结构和无方向性的特点，已有一些研究人员将神经网络与经典密码学相结合。1990 年，Lauria首次引入了基于人工神经网络（ANN）的密码学概念。随后提出了具有不同ANN模型的应用分支和密码学的相关工作。具有部分信息的网络随机同步和具有时变延迟的网络的渐近、有限时间同步为神经网络之间的相互学习提供了可能性。基于神经网络的同步与学习机制证明可以训练神经网络执行加密和解密操作，这类似于量子计算中的黑盒计算模型。此外，Sayantica及时证明了拥有算力多项式的黑客无法入侵神经网络密码系统。因此，它为量子计算和神经密码学的结合提供了机会。

量子神经网络最早由Kak提出，它为设计具有计算效率、量子自然特性、单向性和多元结构的人工神经网络的新型加密和解密机制提供了潜在的解决方案。量子神经网络在快速学习、提高信息处理效率和保证自身有效性方面的优势得到了突出的体现。近年来，离散变量量子神经网络 (DV-QNN) 得到了研究，并开发了一些实际应用。 基于量子神经网络的通用可实现分类方案和基于变分算法的量子神经网络优化促进了量子神经网络的实际进展。2016年首次推出基于DV-QNN的密码系统，将量子神经网络应用于加解密领域。而Anh等人提出的密码系统Anh等人则需要准备离散量子源，并设计与经典训练算法相对应的梯度下降算法，增加了该密码系统实际实现的难度。

因此，本文利用连续变量量子神经网络（CV-QNN）模型来设计一种更实用的量子密码方案，可以将其视为量子神经密码学（QNC）的一种方法。高斯状态是实验性更容易实现的资源与单光子相比，它被用来代替离散可变的量子态。基于通用 CV-QNN 设计了一个特定的量子神经密码模型，并带有额外的预处理和后处理。在预处理中，引入了合法的测量基（LMB）来抵抗信息窃听，所涉及的量子非线性映射方法允许将经典比特编码为量子态，从而增加了输入信息的类型。在训练QNC的过程中利用成熟的优化算法Adam来正确、高效地调整权重，并引入针对消息重放的消息认证。在Strawberry Fields上模拟的实验结果证明了该方案能够正确地加密和解密数据，本文中的学习率自适应方法可以加速密码算法，增强密码系统的安全性。

连续变量量子神经网络模型

根据量子本征态离散和连续谱的结构特点，量子态可分为离散变量和连续变量两类，离散变量量子信息论已得到广泛研究。它启发了连续变量的量子场，包括将量子信息通信从有限维度扩展到无限维度。在连续变场中，由量子模表示的信息承载在玻色模的量子态中，量子化电磁场的连续正交幅度可用于实现量子态制备、幺正操纵和量子测量。与执行单一运算的离散变量量子模型（例如泡利矩阵）不同，连续变量量子模型通常利用高斯和非高斯算子来转换量子态。对于可以用两个实值变量$\left(x,p\right)\in {\mathbb{R}}^2$ (x,p)∈R2来描述的量子模$\hat{x}$ ，具有高斯运算门的相空间上的变换可以总结为:

其中最简单的单模高斯门$R\left(\varphi \right)，D\left(\alpha \right)，S\left(r\right)$ 分别是旋转门，位移门和压缩门，(无相位)波束分离器$BS\left(\theta \right)$ 表示基本的两模高斯门。参数值的范围是$\varphi$ ，$0\in$ $[0,2\pi )$ ，$\alpha \in \mathbb{C}\cong {\mathbb{R}}^2,$ $r\ge 0$ 。

一般CV-QNN模型如图1所示。通过描摹出qumodes(增加辅助qumodes)，可以减小(增加)后一层的宽度，并可以测量最后一层的输出来获得有价值的信息。另外，经典的神经网络可以通过固定栅参数嵌入到一般的CV-QNN模型中，这样形式就不会产生任何叠加或纠缠。换句话说，CV-QNN可以处理经典数据，即通过应用位移算子D(c)来创建输入$|c>$ ，其中c为真空状态的经典数据：

图1：一个一般的连续可变量子神经网络模型。$\ell \in \left\{1,2,\dots ，n\right\}$ 表示单层量子神经网络$\ell \left(\iota \right)$ 。层的宽度可以通过描出某些qumodes来减小，也可以通过增加某些辅助qumodes来增加。最后一层的输出可以测量得到有值的信息。

此外，利用图1中可变的结构，可以合理构建不同的QNN模型，如递归量子神经网络，同时还需要指定量子神经网络的一个神经元来实现不同的功能。

量子神经网络的训练算法

需要对初始神经网络进行训练，使其能够处理实际问题，如正确地对数据进行加密和解密或对图像进行分类等。训练QNN的方法大致可以分为两大类:

• 利用现有量子算法优化神经网络参数。例如，利用量子搜索算法来寻找网络的最优权值。
• 生成与经典训练算法相对应的量子训练算法，寻找目标函数的最优值。

第二类梯度下降法可以应用于量子计算，它的通用性是编程软件平台上的大量模块都具有自动计算最优梯度的能力。在该方案中，我们在Strawberry Fields上进行实验，采用Adam算法对CV-QNN进行优化。Adam算法是一种随机梯度下降算法，由于其输出不确定性但经过优化，适合用于优化量子神经密码系统。具体来说，可以通过调整变换矩阵的参数来实现对量子神经网络的优化。以旋转算子$R\left({\varphi }^{\ast }\right)$ 为例，根据Eq.(1)训练QNN后，可以推导出下面的变换。

其中，当达到期望的目标结果时，可以确定${\varphi }^{\ast }=\varphi +\Delta \varphi$ 和$\Delta \varphi$ 。Eqs.(2-4)中的其他变换矩阵也可能有类似的进化。

基于连续可变量子神经网络的密码算法

神经元的输入和输出之间的数学同构验证了CV-QNN可以用来对数据进行加密和解密。根据经典神经网络的一般函数表达式$Y=f\left(W^{\ast }X+b\right)$ ，其中$W、X、b$ 分别为权矩阵、输入向量和偏置向量，$Y$ 为经典神经网络的输出向量。同理，我们可以得到CV-QNN神经元之间的理论表达式，即

其中，$W_{k,j}$ 代表$k=1,2，\dots m,j=1,2，\dots n$ 是用于将输入${\hat{x}}_{\left(j\right)}$ 转换为输出${\hat{y}}_{\left(k\right)}$ 的幺正运算符${\hat{x}}_{\left(j\right)}={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_j|d{x}_j⟩⟨xj|dxj$ 。顺便说一下，${\hat{x}}_{\left(j\right)}$ 表示神经元的第$j$ 个输入或者说最后一层神经元的第$j$ 个输出，${\hat{y}}_{\left(k\right)}$ 表示神经元的第k个输出或者说下一层神经元的第$k$ 个输入。$\alpha k$ 表示位移参数$D\left(\alpha \left(k\right)\right)$ ， $\phi \left(\cdot \right)$ 为非线性函数。同理，CV-QNN各层之间的数学同构可以总结为：

当

并且

此外，通过对幺正矩阵求逆，可以很容易地恢复网络的初始输入，即

为了有效且实际地设计符合Eq. (8)的密码学模型，固定高斯和非高斯算子来构造量子神经网络的神经元。图2(a)介绍了CV-QNN与$\ell \left(\iota \right)$ 层神经元对应的一般神经元示意图，图2(b)介绍了用于加密模型的特定神经元示意图，其中旋转算子$R_1$ 和$R_1$ 分别取代了图2(a)中的$U_1$ 和$U_2$ 。因此，神经元的定义为：

图2：(a) CV-QNN的一般神经元示意图。(b)特定神经元的示意图ℓn e u r o n，其中包括第一次局部旋转R1(ϕk)、局部挤压门S(rk)、第二次局部旋转R2(ϕk)、局部位移D(αk)和局部非高斯门φ(λk)，对于$k=1,2，\dots m$ 。前四个组件实现仿射变换，然后是最终的非线性变换。

以上表明量子神经网络可以适当地用作具有密钥的密码系统W. 因此，可以通过多层 CV-QNN 设计密码模型，如图3所示，输入x^(k)根据Eq.(5)用明文M进行转换。

图3：用于密码系统的多层CV-QNN。预处理在左边，M是经典数据。加密数据的过程是正确的部分。$\hat{x}\left(k\right)$ 是神经网络的输入，$\hat{y}\left(k\right)$ 是最后一层的直接输出，$\hat{h}\left(k\right)$ 表示隐含层的输出。隐层的宽度可以通过描出某些模或增加某些辅助模来改变。

安全和性能分析

安全性

针对基于 CV-QNN 的密码学算法，本节介绍以下几种抗性来讨论安全性和性能。

对密码攻击的抵抗力

目前通信中对密文的攻击方式主要有两种：密文窃听和消息重放。

对于密文窃听攻击，攻击者无法在方案中没有相应的 LMB 的情况下窃听正确的密码。密码块数和LMB数分别记为a、b，因此窃听密码的成功概率为${\left(\frac{1}{b}\right)}^a$ 。图4表明，更多的 LMB 和密码块可以降低成功拦截密码的概率。对于缺少相应 LMB 的攻击者而言，加密信息无法被窃听，并且密码重放攻击无法成功通过整个 MAC 所需的指数难度。这些成功攻击密码的小概率事件使得该方案具有较高的安全性。

图4：攻击者窃听密码的成功概率。当 LMB 的集合为 2 且密码块数大于 10 时，截获密码的成功概率趋于 0。对于 LMB 的集合为 3 且密码块数刚好大于 6 的情况，密码窃听成功概率为0。

抵抗系统伪造攻击

参考在加密过程中私钥是静态的情况，即使在经典的扩展​​神经网络密码系统中，密码分析者也可以通过截获大量具有相应和可用密码的明文来分析密钥。假设黑客可以复制截获的量子明文和相应的密码来构建类似的密码模型，这似乎会对文中的方案构成威胁。神经网络可以保持不稳定，从而使生成的密码具有混沌性和不可预测性，从而抵御攻击。因此系统能够强烈抵抗对密钥的攻击，即当消息被神经网络加密时，即使使用蛮力，入侵者也无法攻击算法或密钥。

选择明文攻击的抵抗力

攻击者可以伪装成发送者，然后向接收者发送部分信息，并通过捕获数据包来拦截密码。这样，攻击者就可以以一定的概率猜到密码系统的部分甚至全部密钥，或者密码系统的运行机制。设$\kappa$ 为明文块、密文块和私钥组成的通道，即$\kappa =\left\{\left(T_{plain},T_{cipher}\right)，K_{prvite}\right\}$ ，其中$T_{plain}、T_{cipher}、K_{prvite}$ 分别表示明文、密文和私钥。对于多个连续参数组成的密钥和秘密保存的$K_{prvite}$ ，特别是对于量子信息，入侵者使用块$\left(T_{plain},T_{cipher}\right)$ 获得$K_{prvite}$ 的概率非常低。由于在相同的条件下，量子密文的模糊度要高于经典密文，而方案中引入的LMB由于难以捕获正确的报文，降低了选择明文攻击的成功概率。因此，选择明文攻击的成功概率可以为0，即在满足一定的安全条件(如增加LMB集合)时，$p\left(K_{prvite}|\left(T_{plain},T_{cipher}\right)\right)=0$ 。当LMB集合为2时，仅在几个密码块的情况下，攻击者窃听到正确密码的成功概率为0。$\left(T_{plain},T_{cipher}\right)$ 和$K_{prvite}$ 之间的互信息可以表示为：

$I\left(\left(T_{plain},T_{cipher}\right)，K_{prvite}\right)=0$ 表示$\kappa$ 是完美且机密的。因此该方案能够抵抗选择明文攻击。

性能分析

由于量子特性，更多的经典信息可以编码到一个量子态的多个自由度中。因此，量子神经网络可以携带比经典密码系统更多的信息。为了简单起见，经典信息和量子态在本文提出的方案中是一对一映射的。基于CV-QNN的加密算法具有并行计算能力，密钥利用率高的特点，相对于以往每次插入都需要一个新的私钥，从而增加了通信时间的加密算法，具有较好的性能。定义神经元总数$mnmn$ ，其中$mm$ 为每神经层的神经元数量，$nn$ 为神经层数，神经元中平均算子数量为$o_{p}o\_p$ ，最小密钥利用率可表示为$\mu \mu$ 。

借助量子神经网络的学习过程，随着加密次数的增加，权值的变化数量可能会慢慢减少。这意味着神经网络的收敛和加密速度更快，特别是当plain之间存在相关性时。图5显示了不同步骤的权值变化。我们可以看到从第100步到第500步，权值逐渐收敛，即$O_{p}O\_p$ 变小。特别是$O_{p}O\_p$ 的值降低，密钥利用率$\mu \mu$ 增加。因此，与其他非基于神经网络的加密模型相比，量子神经网络使用更少的密钥来加密更多的数据。

图5：权重在不同的步骤中变化。每100步显示一个包含神经网络第7层和第8层之间权值的权值矩阵。不同颜色的圆圈表示不同的训练步骤。每一行表示权值矩阵的元素，如“row1_1”和“row2_1”分别为矩阵第一行第一列的值和权值矩阵第二行第一列的值。随着加密次数的增加，权值逐渐缓慢变化，即权值趋于收敛。

实验结果与分析

设计CV-QNN模型，构造一个具有量子特性和神经网络数据处理并行性的加密和解密密码系统。旋转运行的相位参数等多个连续变量使系统难以被攻击者破解。此外，CV-QNN对加解密的学习过程可以生成密钥，因此不需要额外的密钥协商过程。因此，它比其他需要密钥协商的密码系统更有效。在预处理中引入了LMB的能力，可以解决通信过程中的密码窃听问题，但可能会增加开销。如果攻击者捕捉大量的信息来模拟一个类似的神经网络来处理数据，那么基于神经网络的密码系统最容易受到威胁。因此，采用类似于TCP拥塞控制的方法来保持网络的不稳定，以重新抵御系统伪造攻击。模拟结果表明，通过自适应参数(深度、学习速率等)可以提高加密的安全性，而解密结果表明可以无误差地导出原始码。

结论

本文提出了一种可用且安全的密码算法，该算法利用基于CV-QNN的扩展加密模型对数据进行加密和解密。安全性和性能分析表明，该密码算法可以抵抗密码窃听、消息重放、系统伪造攻击和选择明文攻击，在保证信息安全的同时加快加密进程。此外，该算法继承了量子特性的优点，在Strawberry Field平台上模拟的实验结果表明，该方案能够正确地对包括经典或量子数据在内的数据进行有效的加密和解密。这标志着CV-QNN与量子密码学结合的首次尝试，启发了量子神经网络在量子器件上更有潜力的应用，例如量子密钥分发(QKD)可以通过QNN的同步实现。

原文链接：https://www.nature.com/articles/s41598-020-58928-1

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