摘要

在计算机能力的不断增强和算法进步的推动下，机器学习技术已成为查找数据模式的强大工具。量子系统产生的非典型模式被认为是经典系统无法有效产生的，因此可以合理地假设量子计算机在机器学习任务上可能会优于经典计算机。量子机器学习领域探索了如何设计和实现量子软件，该软件可以使机器学习比传统计算机更快。最近研究产生的量子算法，可以作为机器学习程序的基础，但是硬件和软件方面的挑战仍然很大。

引言

早在拥有计算机之前，人们就在努力寻找数据模式。托勒密将对恒星运动的观测结果与宇宙的地心模型相匹配，并用复杂的行星轮来解释行星的逆行运动。在16世纪，开普勒分析了哥白尼和布拉赫的数据，揭示了以前隐藏的模式：行星以椭圆形移动，太阳在椭圆的一个焦点处移动。通过对天文学数据进行分析以揭示这种模式，产生了数学技术，例如求解线性方程组的方法（Newton-Gauss），通过梯度下降学习最佳值（Newton），多项式插值（Lagrange）和最小二乘拟合（Laplace） 。19世纪和20世纪早期出现了广泛的数学方法，用于分析数据，了解其中包含的模式。

20世纪中期，数字计算机的出现使得数据分析技术实现了自动化。在过去的半个世纪中，计算机功能的飞速发展使得线性代数数据分析技术（例如回归分析和主成分分析）得以实现，并导致了更复杂的学习方法（例如支持向量机）。在同一时期，数字计算机的发展和迅速发展催生了新颖的机器学习方法。诸如感知器之类的人工神经网络是在1950年代实现的，只要计算机有能力实现它们。在1960年代至1990年代引入并实施了基于神经网络（例如Hopfield网络和Boltzmann机器）的深度学习和训练方法（例如反向传播）。在过去的十年中，特别是在过去的五年中，强大的计算机和专用信息处理器相结合，能够实现数十亿权重的深度网络，并将其应用于非常大的数据集，这表明这种深度学习网络能够识别数据中复杂而微妙的模式。

众所周知，量子力学会在数据中产生非典型模式。诸如深度神经网络之类的经典机器学习方法通​​常具有以下特征：它们既可以识别数据中的统计模式，又可以产生具有相同统计模式的数据：它们可以识别所产生的模式。这种观察表明了以下希望。如果小型量子信息处理器可以产生传统计算机难以计算的统计模式，那么也许它们也可以识别同样难以识别传统的模式。

这一希望能否实现，取决于能否为机器学习找到高效的量子算法。量子算法是一组可以解决问题的指令，例如可以确定在量子计算机上执行的两个图是否同构的问题。量子机器学习软件将量子算法用作较大实现的一部分。通过分析量子算法规定的步骤，可以清楚地看到它们有可能在特定问题上胜过经典算法（即减少所需步骤的数量）。这种潜力被称为量子加速。

量子加速的概念取决于人们是采用正式的计算机科学观点（需要数学证明）还是基于现实的有限尺寸设备可以完成的工作的观点（需要有统计优势的可靠统计证据）问题大小的有限范围。对于量子机器学习，经典算法的最佳性能并不总是已知的。这类似于用于整数分解的Shor多项式时间量子算法的情况：没有发现次指数时间经典算法，但是这种可能性没有得到证明。

确定与量子机器学习和经典机器学习相对的缩放优势的方法将取决于量子计算机的存在，这被称为“基准测试”问题。这样的优势可以包括提高分类精度和对经典不可访问系统进行采样。因此，目前使用复杂性理论中的理想化措施来表征机器学习中的量子加速：查询复杂性和门复杂性(见Box 1)。查询复杂度度量经典算法或量子算法对信息源的查询次数。如果解决量子问题所需的查询数量少于经典算法所需的查询数量，则会产生量子加速。为了确定门的复杂性，对获得所需结果所需的基本量子运算或门的数量进行计数。

查询复杂度和门复杂度是一种理想化的模型，它量化了解决一个问题类所需的资源。如果不知道如何将这种理想化的情况映射到现实中，我们就无法对现实场景中必要的资源伸缩做出多少评价。因此，经典机器学习算法所需的资源大多通过数值实验来量化。在实践中，量子机器学习算法的资源需求可能同样难以量化。分析它们的实际可行性是本综述的中心主题。

正如在整个综述中所看到的，机器学习的量子算法表现出量子加速。量子基本线性代数子程序(BLAS)——傅里叶变换，寻找特征向量和特征值，解线性方程——比它们最著名的经典对应物表现出指数量子加速。这种量子BLAS（qBLAS）可以转化为量子加速，用于各种数据分析和机器学习算法，包括线性代数，最小二乘拟合，梯度下降，牛顿法，主成分分析，线性，半定和二次编程，拓扑分析和支持向量机。与此同时，专用量子信息处理器，如量子退火炉和可编程量子光学阵列被很好地匹配深度学习架构。尽管尚不清楚在多大程度上可以实现这种潜力，但仍有理由乐观地认为量子计算机可以识别传统计算机无法识别的数据模式。

我们考虑学习机可以是经典的或量子的。它们分析数据可以是由量子感测或测量装置制造古典或量子状态。我们简要讨论了常规机器学习-使用经典计算机在经典数据中查找模式。然后，我们转向量子机器学习，其中量子计算机分析的数据可以是经典数据（最终被编码为量子态），也可以是量子数据。最后，我们简要讨论了使用经典机器学习技术在量子动力学中寻找模式的问题。

Box 1：量子加速

量子计算机利用量子相干和纠缠等效应来处理信息，这是传统计算机无法做到的。在过去的20年里，构建更强大的量子计算机方面取得了稳步进展。量子算法是在量子计算机上执行的一个循序渐进的过程，以解决一个问题，例如搜索数据库。量子机器学习软件利用量子算法来处理信息。

在解决某些问题时，量子算法在原则上可以优于最著名的经典算法。这就是量子加速。在这篇综述中讨论的问题是如何使用量子计算机和特殊用途的信息处理器(如量子退火器)来执行量子机器学习。

例如，量子计算机可以搜索一个没有排序的数据库，其中$N$ 个条目的时间与$\sqrt{N}$ 成正比，即$O\left(\sqrt{N}\right)$ ，其中经典计算机给定黑箱访问同一数据库的时间与N成正比：量子计算机的速度比经典计算机快了平方根。类似地，量子计算机可以在N个数据点上执行傅里叶变换，反求稀疏的$N\times N$ 矩阵，并找到它们在时间上与${\log }_{2}N$ 多项式成比例的特征值和特征向量，其中最著名的经典计算机算法的时间与$Nlo{g}_{2}N$ 成比例：量子计算机表现出比最好的经典计算机算法指数级的速度。下表总结了用于实现各种量子增强机器学习子程序加速的技术。

在上表中，加速是相对于经典对应项(s)的——因此，$O\left(\sqrt{N}\right)$ 表示二次加速，$O\left(\log \left(N\right)\right)$ 表示相对于经典对应项的指数加速。$\left(\ast \right)$ 表示可能限制方法适用性的重要警告，AA表示幅度放大。

经典机器学习

经典机器学习和数据分析可以分为几类。首先，计算机可用于执行“经典”数据分析方法，例如最小二乘回归，多项式插值和数据分析。机器学习协议可以是有监督的，也可以是无监督的。在监督学习中，训练数据被划分为带标签的类别，例如手写数字的样本以及手写数字应该代表的实际数字，并且机器的工作是学习如何在训练之外为数据分配标签组。在无监督学习中，训练集没有标签，机器的目标是找到训练数据所属的自然类别（例如，互联网上不同类型的照片），然后对训练集之外的数据进行分类。最后，还有一些机器学习任务，比如下围棋，涉及到监督学习和非监督学习的结合，以及可能由机器自身生成的训练集。

基于线性代数的量子机器学习

通过对高维向量空间中的向量执行矩阵运算，可以运行多种数据分析和机器学习协议。但是量子力学全都涉及高维向量空间中向量的矩阵运算。

这些方法背后的关键成分是n个量子比特或量子位的量子态是2D复向量空间中的一个向量;在量子位上执行的量子逻辑操作或测量将对应的状态向量乘以$2^n\times 2^{n}2^n\times 2^n$ 矩阵。通过建立这样的矩阵变换，量子计算机已经被证明可以执行常见的线性代数操作，如傅里叶变换，找到特征向量和特征值，并在n的时间多项式上在$2^{n}2^n$ 维向量空间上求解线性方程组，比它们最著名的经典对位指数级地快。后者通常被本文作者称为HHL算法（参见Box 2)。原始变体假设一个良好条件的矩阵是稀疏的。稀疏性在数据科学中不太可能出现，但后来的改进放宽了这一假设，将低秩矩阵也包括进来。通过HHL，这里我们调查了几个量子算法，当线性代数技术在量子机器学习软件中被使用时，它们作为子程序出现。

Box 2：HHL算法

用于方程组求逆的HHL算法是一个基本且易于理解的子例程，它是许多量子机器学习算法的基础。该算法试图使用量子计算机来求解$A\vec{x}=\vec{b}A\backslash vec\{x\}=\backslash vec\{b\}$ 。HHL将问题量子化，将向量$b\in C^{N}b\in C^N$ 表示为量子态$\mid b⟩\backslash rvert\; b\backslash rangle$ ${\log }_{2}N\backslash log\_2N$ 量子比特，将向量$\vec{x}\backslash vec\{x\}$ 表示为量子态$\mathrm{\mid }x⟩|x\backslash rangle$ 。矩阵A可以被假定为厄米矩阵而不失去一般性，因为可以始终扩展该空间以使其成立。方程$A\mathrm{\mid }x⟩=\mid b⟩A|x\backslash rangle=\backslash rvert\; b\backslash rangle$ 可以通过方程两边同时乘以$A^{-1}A^\{-1\}$ 来求解。然后HHL算法允许人们构造与$\gamma \gamma$ 成正比的量子态$A^{-1}\mid b⟩A^\{-1\}\backslash rvert\; b\backslash rangle$ 。其中$A^{-1}A^\{-1\}$ 是$AA$ 的逆。更一般而言，当$AA$ 不是正方形或具有零特征值时，该算法可用于查找最小化的状态$\mid A\mid x⟩-\mid b⟩\mid \backslash rvert\; A\backslash rvert\; x\backslash rangle-\backslash rvert\; b\backslash rangle\backslash rvert$ 。

算法的工作原理如下。设$\mid b_n={\mathrm{\Sigma }}_n{b}_n\mid E_n⟩\backslash rvert\; b\_n=\backslash Sigma\_nb\_n\backslash rvert\; E\_n\backslash rangle$ ，其中$\mid E_n⟩\backslash rvert\; E\_n\backslash rangle$ 是$AA$ 的一个特征向量，其特征值为${\lambda }_n\ge \mathrm{\Lambda }\backslash lambda\_n\backslash geq\backslash Lambda$ 。利用$AA$ 下的相位估计计算${\lambda }_n\backslash lambda\_n$ ，并通过$\mathrm{\Lambda }\mathrm{/}{\lambda }_n\backslash Lambda/\backslash lambda\_n$ 角旋转辅助量子位，然后不计算相位估计，即可得到相位估计

然后，如果测量辅助量子比特，如果观察到$11$ ，则每个本征态被${\lambda }_n\lambda \_n$ 分割，这影响了逆。施加幅度放大后，状态制备电路需要施加成功的次数为$O(\parallel A\parallel \mathrm{/}\mathrm{\Lambda })O\backslash left(\backslash rVert\; A\backslash rVert/\Lambda \backslash right)$ ，这是矩阵的条件数。

HHL算法需要$O\left({(\log N)}^2\right)O\backslash left(\backslash left(\backslash log\; N\backslash right)^2\backslash right)$ 量子步来输出$\mathrm{\mid }x⟩|x\backslash rangle$ ，相比之下，在经典计算机上使用最著名的方法寻找$\vec{x}\backslash vec\{x\}$ 需要$O\left(NlogN\right)O\backslash left(NlogN\backslash right)$ 步。

对于HHL算法有几个重要的注意事项。首先，从量子态$\mid x⟩\backslash rvert\; x\backslash rangle$ 中找到~x的完整答案需要$O\left(N\right)O\backslash left(N\backslash right)$ 次来重构$\vec{x}\backslash vec\{x\}$ 的$NN$ 个分量。对HHL的推广，如最小二乘拟合，通过允许输出比输入小得多的维度来回避这个问题。然而，在一般情况下，HHL只能提供数据的特征，如解向量的矩或其在其他稀疏矩阵$BB$ 上的期望值$\vec{x}\overrightarrow{{}^{\text{†}}B}x\backslash vec\{x\}\backslash vec\{^†B\}x$ 。第二点需要注意的是，输入向量$\mathrm{\mid }b⟩|b\backslash rangle$ 需要在量子计算机或使用qRAM上准备，这可能是昂贵的。第三个警告是，矩阵必须是良好的条件和$e^{-iA}e^\{-iA\}$ 必须是有效的模拟。最后，尽管hhl算法的规模为$O\left({(\log N)}^2\right)O\backslash left(\backslash left(\backslash log\; N\backslash right)^2\backslash right)$ ，但该算法用于实际问题的成本目前估计是令人望而却步的，这强调了研究进一步改进的重要性。一般来说，线性系统的指数加速的前景应该与它们只适用于某些问题的认识相调和。

量子主成分分析

例如，考虑主成分分析（PCA）。假设数据在$dd$ 维向量空间中以向量${\vec{v}}_j\backslash vec\{v\}\_j$ 的形式表示。例如，${\vec{v}}_j\backslash vec\{v\}\_j$ 可以是股票市场中所有股票在时间$t_{j}t\_j$ 到时间$t_{j+1}t\_\{j+1\}$ 之间价格变化的矢量。数据的协方差矩阵为$C=\overrightarrow{{\mathrm{\Sigma }}_j}\vec{v}\overrightarrow{{}_{j}v}\genfrac{}{}{0px}{}{T}{j}C=\backslash vec\{\backslash Sigma\_j\}\backslash vec\{v\}\backslash vec\{\_jv\}\{T\backslash atop\; j\}$ ，其中上标$TT$ 表示转置操作：协方差矩阵汇总了数据不同组成部分之间的相关性，例如，不同股票价格变化之间的相关性。最简单的形式是，主成分分析通过对角化协方差矩阵进行操作:$C={\mathrm{\Sigma }}_k{e}_k\overrightarrow{{}_c}\overrightarrow{{}_{k}c}\genfrac{}{}{0px}{}{+}{k}C=\backslash Sigma\_ke\_k\backslash vec\{\_c\}\backslash vec\{\_kc\}\{+\backslash atop\; k\}$ ，其中${\vec{c}}_k\backslash vec\{c\}\_k$ 是$CC$ 的特征向量，$e_{k}e\_k$ 是对应的特征值。(因为$CC$ 是对称的，特征向量${\vec{c}}_k\backslash vec\{c\}\_k$ 形成一个标准正交集合。)如果仅一些特征值${\vec{c}}_k\backslash vec\{c\}\_k$ 的特征向量大，而其余的数目小或为零，则与这些特征值相对应的特征向量称为$CC$ 的主分量。每个主成分代表数据中潜在的共同趋势或相关形式，并且根据主成分$\vec{v}={\mathrm{\Sigma }}_k{v}_k\backslash vec\{v\}=\backslash Sigma\_kv\_k$ ${\vec{c}}_k\backslash vec\{c\}\_k$ 分解数据向量v既可以压缩数据的表示形式，又可以预测未来的行为。就计算复杂度和查询复杂度而言，用于执行PCA的经典算法的标度为$O\text{（}{d}^2\text{）}O（d^2）$ 。

对于经典数据的量子主成分分析，我们随机选择一个数据向量${\vec{v}}_j\backslash vec\{v\}\_j$ ，并使用量子随机存取存储器（qRAM）将该向量映射为量子状态：${\vec{v}}_j\stackrel{}{\to }\mid v_j⟩\backslash vec\{v\}\_j\backslash xrightarrow\{\}\backslash rvert\; v\_j\backslash rangle$ 。概括向量的量子状态具有$\log d\backslash log\; d$ 个量子位，并且qRAM的操作需要除以$O(\log d)O\backslash left(\backslash log\; d\backslash right)$ 个步骤可以并行执行的$O\left(d\right)O\backslash left(d\backslash right)$ 个操作。由于${\vec{v}}_j\backslash vec\{v\}\_j$ 是随机选择的，因此得到的量子态具有密度矩阵$\rho =\left(1\mathrm{/}N\right){\displaystyle }{\sum }_j^{\mid }{v}_j⟩⟨v_j\mid \backslash rho=\backslash left(1/N\backslash right)\{\backslash displaystyle\; \}\backslash sum\backslash nolimits\_j^\backslash rvert\; v\_j\backslash rangle\backslash langle\; v\_j\backslash rvert$ ，其中$NN$ 是数据矢量的数量。与经典数据的协方差矩阵$CC$ 相比，我们看到数据的量子版本的密度矩阵是协方差矩阵，直至一个整体因素。通过重复采样数据，并且使用称为密度矩阵幂特技与量子相位估计算法相结合，它发现矩阵的特征向量和特征值，允许一个取任何数据向量$\mid \vec{v}⟩\backslash rvert\backslash vec\{v\}\backslash rangle$ 的量子版本，并将其分解为主要成分$\mathrm{\mid }{C}_k⟩|C\_k\backslash rangle$ ，同时揭示$CC$ 的特征值：$\mid v⟩\stackrel{}{\to }{\sum }_k^{v}k\mid C_k⟩\mid {\bar{e}}_k⟩\backslash rvert\; v\backslash rangle\backslash xrightarrow\{\}\backslash sum\backslash nolimits\_k^vk\backslash rvert\; C\_k\backslash rangle\backslash rvert\backslash bar\{e\}\_k\backslash rangle$ 。然后可以通过对$CC$ 的本征向量的量子表示进行测量来探究$CC$ 的主要成分的特性。量子算法在计算复杂度和查询复杂度上均缩放为$O((\log d{)}^2)O\backslash lparen\backslash lparen\backslash log\; d)^2)$ 。也就是说，量子PCA的效率比经典PCA高出几倍。

量子支持向量机和内核方法

监督机器学习算法的最简单示例是线性支持向量机和感知器。这些方法试图在数据集中的两类数据之间找到最佳的分离超平面，从而很可能仅在超平面的一侧找到一类的所有训练示例。当超平面和数据之间的余量最大化时，将给出针对数据的最鲁棒的分类器。在这里，训练中学习的“权重”是超平面的参数。支持向量机的最大能力之一是通过核函数将其推广到非线性超曲面。这样的分类器已经在图像分割以及生物科学中获得了巨大的成功。

像它的经典对应物一样，量子支持向量机是量子机器学习算法的范例。第一个量子支持向量机在2000年代初进行了讨论，它使用了Grover搜索功能最小化的方法。因此，从$NN$ 个向量中找到$ss$ 个支持向量需要$\sqrt{N\mathrm{/}s}\backslash sqrt\{N/s\}$ 次迭代。最近，开发了最小二乘量子支持向量机，该机利用了qBLAS子例程的全部功能。数据输入可以来自各种来源，例如来自访问经典数据的qRAM或来自准备量子状态的量子子例程。一旦将数据提供给量子计算设备，就用量子相位估计和矩阵求逆（HHL算法）对其进行处理。原则上，构造最优分离超平面并测试矢量是位于一侧还是另一侧所需的所有操作都可以在$poly(\log N)poly\backslash left(\backslash log\; N\backslash right)$ 多项式时间上执行，其中$NN$ 是准备量子所需的矩阵维数超平面向量的版本。多项式讨论了径向基函数核和径向基函数核，以及另一种基于核的方法，称为高斯过程回归。这种用于量子支持机的方法已经在核磁共振试验台上进行了手写数字识别任务的实验验证。

基于qBLAS的优化

许多数据分析和机器学习技术都涉及优化。越来越多的兴趣是使用D-Wave处理器通过量子退火解决组合优化问题。一些优化问题也可以表述为线性系统的单次求解，例如受等式约束的二次函数优化，二次规划问题的子集。如果涉及的矩阵是稀疏的或低秩的，这样的问题可以在时间$poly(\log d)poly\backslash left(\backslash log\; d\backslash right)$ 内解决，其中d是通过HHL矩阵反演算法得到的系统维数，与在时间$poly\left(d\right)poly\backslash left(d\backslash right)$ 内运行的经典算法相比，产生了指数级的加速。

机器学习中的大多数方法都需要对其性能进行迭代优化。例如，不等式约束通常通过罚函数和梯度下降或牛顿法的变化来处理。量子PCA方法的一种修改实现了迭代梯度下降和牛顿法用于多项式优化，并且可以再次提供比经典方法更快的指数加速。以量子态编码的本溶液的多个副本用于在每个步骤中改进该溶液。Brandao和Svore提供了半定式编程的量子版本，该版本支持超多项式加速的可能性。量子近似优化算法（QAO算法）提供了一种独特的方法，可以根据问题的罚函数应用交替的量子位旋转进行优化。

将经典数据读入量子机器

必须先输入经典数据，然后才能在量子计算机上对其进行处理。这个“输入问题”通常开销很小，但是对于某些算法可能会带来严重的瓶颈。同样，在量子设备上处理数据后读取数据时也会遇到“输出问题”。像输入问题一样，输出问题通常会导致明显的运行速度下降。

特别是，如果我们希望将HHL，最小二乘拟合，量子主成分分析，量子支持向量机和相关方法应用于经典数据，则该过程首先需要将大量数据加载到量子系统中，这可能需要指数时间。原则上可以使用qRAM来解决此问题，但这样做的代价可能会导致大数据问题望而却步。除了基于组合优化的方法外，唯一不依赖大规模qRAM的，基于线性代数的量子机器学习算法是用于执行数据拓扑分析（持久同源性）的量子算法。除了最小二乘拟合和量子支持向量机以外，基于线性代数的算法也可能会遇到输出问题，因为所需的经典量（例如HHL的解向量或PCA的主分量）难以指数地估算。

尽管存在量子速度指数级提升的潜力，但如果没有投入大量精力进行优化，电路的尺寸和深度开销可能会急剧增加(在一个HHL的提议实现中达到 $\sim 10^{25}\backslash thicksim10^\{25\}$ )。我们需要持续的工作来优化这样的算法，提供更好的成本估计，并最终理解我们需要的那种量子计算机，在这个领域中为经典机器学习提供有用的量子替代方案。

深度量子学习

经典的深度神经网络是用于机器学习的高效工具，非常适合激发深度量子学习方法的发展。专用量子信息处理器，如量子退火炉和可编程光子电路非常适合用于构造深量子学习网络。可以量化的最简单的深度神经网络是Boltzmann机器。经典的Boltzmann机器由具有可调相互作用的钻头组成：通过调整这些相互作用来训练Boltzmann机器，以使钻头的热统计数据由Boltzmann–Gibbs分布描述（见图1B）。再现数据的统计信息。要量化玻尔兹曼机，只需简单地将神经网络表示为与相互作用的伊辛模型相对应的一组相互作用的量子自旋。然后，通过将Boltzmann机器中的输入神经元初始化为固定状态并使系统热化，我们可以读出输出量子位以获得答案。

图1：量子隧穿与热化。在退相干诱导热化之前，当接近共振点时，量子态隧穿。A.在热退火过程中，量子态必须通过局部最小值，而相干量子态在接近共振时可以隧穿。B.相干效应通过与环境的相互作用而衰减，导致系统能级占用的概率分布遵循Gibbs分布。

深度量子学习的一个基本特征是它不需要大型的通用量子计算机。量子退火器是专用的量子信息处理器，与通用的量子计算机相比，它更易于构建和扩展（参见图1A）。量子退火器非常适合于实现深度量子学习器，并且可以通过商业途径获得。D-Wave量子退火炉是一个可调的横向伊辛模型，可以对其进行编程以产生经典系统和某些量子自旋系统的热态。D-Wave设备已用于在超过一千个自旋上执行深度量子学习协议。量子玻尔兹曼机具有更通用的可调谐耦合器，能够实现通用量子逻辑，目前处于设计阶段。片上硅波导已被用于构建具有数百个可调谐干涉仪的线性光学阵列，并且专用超导量子信息处理器可用于实现量子近似优化算法。

量子计算机可以在这里提供多种优势。首先，量子方法可以使系统二次热化快于它的古典对应。这样可以对完全连接的Boltzmann机器进行准确的训练。其次，量子计算机可以通过提供改进的采样方式来加速Boltzmann训练。由于Boltzmann机器中的神经元激活模式是随机的，因此需要多次重复来确定成功概率，进而发现改变神经网络权重对深层网络性能的影响。相反，在训练量子Boltzmann机器时，量子相干性可以二次减少学习所需任务所需的样本数量。此外，对训练数据的量子访问(即qRAM或量子黑盒子子例程)允许机器使用比经典方法所需的更少的二次访问训练数据:量子算法可以在大型训练数据集上训练深度神经网络，而只读取极少数量的训练向量。

量子信息处理为深度学习提供了新的，基本上是量子的模型。例如，添加的横向场的伊辛模型量子波尔兹曼机可以诱导各种量子效应，如隧道。添加另外的量子联轴器变换量子波尔兹曼机到各种量子系统。在可调谐的伊辛模型中添加可调谐的横向相互作用对于全量子计算来说是普遍的：通过适当的权重分配，该模型可以执行通用量子计算机可以执行的任何算法。这样的通用深度量子学习者可以识别和分类传统计算机无法做到的模式。

与经典的玻尔兹曼机不同，量子玻尔兹曼机输出量子态。因此，深量子网络可以学习生成代表多种系统的量子状态，从而允许网络充当量子关联存储器的形式。经典机器学习缺乏这种产生量子态的能力。因此，量子玻尔兹曼训练的应用范围不仅限于对量子态进行分类，还提供了更丰富的经典数据模型。

Box 3

在量子玻尔兹曼机器训练中，我们希望学习一组哈密顿参数$\left(w_j\right)\backslash left(w\_j\backslash right)$ ，这样对于一个固定的$H_{j}H\_j$ 集合，我们有我们的输入态${\rho }_{train}\backslash rho\_\{train\}$ 很好地近似为$\sigma =e^{-{\mathrm{\Sigma }}_j{w}_j{H}_j}\mathrm{/}{T}_r\left(e^{-{\mathrm{\Sigma }}_j{w}_j{H}_j}\right)\backslash sigma=e^\{-\backslash Sigma\_jw\_jH\_j\}/T\_r\backslash left(e^\{-\backslash Sigma\_jw\_jH\_j\}\backslash right)$ 。对于所有可见的玻尔兹曼机器，量子相对熵$S({\rho }_{train}\parallel \sigma )=Tr({\rho }_{train}log\left({\rho }_{train}\right)-{\rho }_{train}log\left(o\right))S\backslash left(\backslash rho\_\{train\}\backslash rVert\backslash sigma\backslash right)=Tr\backslash left(\backslash rho\_\{train\}log\backslash left(\backslash rho\_\{train\}\backslash right)-\backslash rho\_\{train\}log\backslash left(o\backslash right)\backslash right)$ 是衡量近似质量的最自然方法。很容易看出(假设$\rho \backslash rho$ 和$\sigma \backslash sigma$ 的核重合)，量子相对熵上界两个态之间的距离。因此，最小化它最小化了近似状态的误差。

虽然相对熵是两种状态之间距离的一个很好的度量，但它很难通过实验来学习。但是，相对熵的梯度(即变化最大的方向)很容易估计：

给出${\rho }_{train}\rho \_\{train\}$ 序列期望值的实验数据集和$Tr\left(\sigma H_j\right)Tr\backslash left(\sigma H\_j\backslash right)$ 的量子模拟器，我们可以找到量子相对熵最大改善的方向。然后用梯度下降法更新$\vec{w}\backslash vec\{w\}$ ，$\vec{w}\stackrel{}{\to }\vec{w}\stackrel{}{\to }\eta \mathrm{\nabla }S({\rho }_{tra\mathrm{i}n}\parallel \sigma )\backslash vec\{w\}\backslash xrightarrow\{\}\backslash vec\{w\}\backslash xrightarrow\{\}\backslash eta\backslash nabla\; S\backslash left(\backslash rho\_\{tra\backslash mathrm\{i\}n\}\backslash rVert\backslash sigma\backslash right)$ 为$\eta >0\backslash eta>0$ 。随机哈密顿量具有标准基中所有非对角矩阵元素都是实数且非正的性质。一般来说，对于非随机的$H-seeH-see$ ，没有这种方法的有效经典类比。

我们在下面展示了这个协议，用于学习由4个随机状态的均匀混合形成的随机状态——对于唯一且酉不变的Haar测度来说是随机的。使用完整的哈密顿项集训练它大约生成${\rho }_{train}\rho \_\{train\}$ 序列，需要不到10个梯度步(epoch)。

用于量子数据的量子机器学习

量子机器学习最直接的应用也许是量子数据，即量子系统和过程所产生的实际状态。如上所述，许多量子机器学习算法通过将经典数据映射到量子力学状态，然后使用基本的量子线性代数子例程来操纵这些状态，从而找到经典数据中的模式。这些量子机器学习算法可以直接应用于光和物质的量子态，以揭示其潜在的特征和模式。所得的量子分析模式通常比对量子系统中数据进行的经典分析更加有效和更具启发性。例如，给定一个$N\times NN\times N$ 描述的系统的多个副本与经典设备在$AA$ 上执行层析成像所需的$O(N^2)O\backslash lparen\; N^2)$ 测量相比，密度主矩阵可以使用量子主成分分析来找到其特征值并揭示时间$O\left({\left({\log }_{2}N\right)}^2\right)O\backslash left(\backslash left(\backslash log\_2N\backslash right)^2\backslash right)$ 中对应的特征向量。密度矩阵，以及执行经典PCA所需的$O\left(N^2\right)O\backslash left(N^2\backslash right)$ 操作。量子数据的这种量子分析可以在相对较小的量子计算机上进行，这可能会在未来几年内实现。

一种特别强大的量子数据分析技术是使用量子模拟器来探测量子动力学。量子模拟器是“量子模拟计算机”，即可以对其动力学进行编程以匹配某些所需量子系统的动力学的量子系统。量子模拟器可以是构造为模拟特定类别的量子系统的专用设备，也可以是通用量子计算机。由受信任的量子模拟器连接到未知系统和调整模拟器以抵消未知动力学的模型，未知系统的动态特性可以有效地使用近似贝叶斯推理得知。这成倍地减少了执行仿真所需的测量次数。类似地，通用量子仿真器算法允许人们重建量子动力学，而量子Boltzmann训练算法。图允许在希尔伯特空间的维度上以时间对数的方式重建状态，这比通过经典的层析X射线摄影术重建动力学成指数地快。

要使用一台量子计算机，帮助检定量子系统或接受输入状态，在量子PCA算法的使用，我们必须面对装载相干输入状态的大量技术挑战。然而，因为这样的应用程序不需要qRAM并为指数的加速潜力器件特性，他们仍然是量子机器学习的近期应用前景广阔的可能性之一。

设计和控制量子系统

量子计算和信息科学发展中的主要挑战涉及调整量子门以匹配量子误差校正所需的严格要求。启发式搜索方法可以有助于实现这一目标的监督学习的场景（例如，在的情况下，最近邻耦合的超导人造原子与在噪声存在99.9％以上的栅极保真度），并且因此将达到一个接受容错量子计算的阈值。相似的方法已成功构建了单次Toffoli门，再次达到99.9％以上的门保真度。遗传算法已被用来减少量子门中的数字和实验误差。它们已用于通过辅助量子位和不完善的门来模拟受控NOT门。除了性能优于数字量子模拟的协议外，已经证明遗传算法也可用于抑制门中的实验误差。另一种方法是使用随机梯度下降和两体相互作用将Toffoli门嵌入到一系列量子操作或门中，而无需使用时间依赖的量子网络的自然动力学进行控制。动态解耦序列有助于保护量子态免受退相干，这可以使用递归神经网络进行设计。

控制量子系统同样重要和复杂。学习方法在开发控制序列以优化自适应量子计量学方面也非常成功，这是许多量子技术中的关键量子构件。已经提出了用于控制量子分子的遗传算法，以克服由于在实验过程中改变环境参数而引起的问题。强化学习采用启发式全局优化算法，如用于设计电路的算法，得到了广泛的成功，特别是在噪声和退相干的情况下，与该系统的尺寸缩放以及。人们还可以在基于门的量子系统中利用强化学习。例如，基于智能代理的量子信息自适应控制器展示了针对固定方向未知量级外部杂散场的自适应校准和补偿策略。

古典机器学习也是一种强大的工具，可用于提取有关量子态的理论见解。神经网络最近被部署来研究凝聚态两个中心问题，即相的事项检测和基态搜索。这些成功实现了比已建立的数值工具更好的性能。理论物理学家现在正在研究这些模型，以与传统方法（例如张量网络）相比，分析地了解其描述能力。对奇异状态的有趣应用已经在市场上，并且已经显示出从无序或拓扑有序的系统中捕获非常重要的特征。

展望

如本综述所示，小型量子计算机和大型专用量子模拟器、退火器等在机器学习和数据分析方面具有广阔的应用前景。这些算法的执行需要量子硬件：这个承诺能实现吗?

在硬件方面，几种使能技术取得了长足的进步。通过量子云计算（“ Qloud”）将广泛提供具有50–100量子位的小型量子计算机。特殊用途的量子信息处理器，例如量子模拟器，量子退火器，集成光子芯片，氮空位中心（NV）金刚石阵列，qRAM和按订单生产的超导电路，将继续在尺寸和复杂性上发展。量子机器学习提供了一套潜在应用为小量子计算机通过专用量子信息处理器的补充和增强的，数字处理器量子和传感器。

尤其是，使用集成的超导电路，其原理上是可扩展的，已经构建并运行了约2,000量子比特的量子退火器。量子退火器实现量子机器学习算法的最大挑战包括改善连接性和在量子位之间实现更通用的可调耦合。使用硅中集成的光子器件已经构造了具有约100个可调干涉仪的可编程量子光学阵列，但是随着这种电路规模的扩大，量子效应的损失也会增加。量子机器学习的一个特别重要的挑战是接口设备（如qRAM）的构造，该接口设备允许经典信息以量子力学形式进行编码。一个qRAM访问N多条数据由$22$ 个$NN$ 个量子开关的分支阵列组成，该分支阵列在内存调用期间必须一致地运行。原则上，这种qRAM需要花费时间$O\text{（}{\log }_{2}N\text{）}O（\backslash log\_2N）$ 来执行存储调用，并且每次切换操作最多可以容忍$O\text{（}1\mathrm{/}lo{g}_{2}N\text{）}O（1/log\_2N）$ 的错误率，其中${\log }_{2}N\backslash log\_2N$ 是qRAM电路的深度。已经进行了qRAM的原理证明，但是构造大型量子开关阵列是一个困难的技术问题。

 这些硬件挑战本质上是技术性的，并且存在克服这些挑战的明确途径。但是，如果要将量子机器学习变成量子计算机的“杀手级应用”，则必须克服这些问题。如前所述，已经确定的大多数量子算法都面临许多限制其适用性的警告。我们可以将上述注意事项归纳为四个基本问题。

• 输入问题。尽管量子算法可以极大地提高处理数据的速度，但很少能提供读取数据的优势。这意味着在某些情况下，输入中的读取成本可以控制量子算法的成本。了解这一因素是一个持续的挑战。
• 输出问题。从一些量子算法中学习比特串的完整解需要学习指数位数的比特。这使得量子机器学习算法的某些应用不可行。通过仅了解解决方案状态的摘要统计信息，可以潜在地避开此问题。
• 成本问题。与输入/输出问题密切相关，目前对量子机器学习算法所需门的真实数目了解甚少。复杂性的界限表明，对于足够大的问题，它们将提供巨大的优势，但仍不清楚何时出现交叉点。
• 基准测试问题。在实践中通常很难断言量子算法比所有已知的经典机器算法都要好，因为这将需要针对现代启发式方法进行广泛的基准测试。为量子机器学习建立下界将部分解决这个问题。

为了避免其中的一些问题，我们可以将量子计算应用于量子数据，而不是经典数据。其中的一个目标是使用量子机器学习来表征和控制量子计算机。这将实现类似于传统计算中出现的创新的良性循环，其中，然后利用每一代处理器来设计下一代处理器。我们已经开始看到这个周期与传统机器学习的第一批成果被用来提高量子处理器设计，而这又为量子增强机器学习应用程序本身提供强大的计算资源。

原文链接：https://www.nature.com/articles/nature23474/#Sec3

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